Продолжим рассматривать примеры вычисления пределов последовательностей.
4. Найти предел последовательности

Наибольшая степень в числителе и знаменателе — третья, поэтому поделим числитель и знаменатель на n³. Получим


Воспользоваться теоремой 4 для вычисления предела отношения двух последовательностей невозможно, так как предел последовательности


стоящей в знаменателе, равен 0. Рассмотрим последовательность

Предел этой последовательности равен 0:

Так как последовательность y_n — бесконечно малая, то

согласно теореме 1, бесконечно большая последовательность. Таким образом,

Правило. Если у общего члена последовательности степень числителя больше степени знаменателя, то последовательность бесконечно большая.

Рассмотрим функцию y = 2x + 1. Фиксируем точку x₀ = 0. Пусть x_n — некоторая последовательность, сходящаяся к x₀ при n, стремящемся к ∞. Рассмотрим, например, последовательность


Она сходится к 0

Подставив в функцию вместо x x_n, получим новую последовательность

Нас интересует, как ведет себя эта последовательность. Последовательность y_n сходится к 1 при N, стремящемся к ∞(lim_n→∞ y_n= 1).
Рассмотрим, как геометрически изображается связь между последовательностями x_n и y_n (рис. 30).


Нас интересует, как ведет себя последовательность y_n, если последовательность x_n сходится к x₀.

Определение предела функции

Определение. Число a называется пределом функции y(x) при x, стремящемся к x₀, если для любой последовательности x_n, удовлетворяющей условиям: x_n принадлежит области определения X функции y(x), x_n ≠ x₀ и lim_n→∞ x_n = x₀,

соответствующая последовательность y_n = y(x_n) сходится к a. Это записывают так:

Теоремы о предельном переходе при выполнении арифметических операций над функциями

Пусть на множестве X рассматриваются функции y(x) и z(x).
Пусть x₀ ∈ X и lim_n→∞ y(x) = a, lim_n→∞ z(x) = b. Тогда: Теорема 1. Предел суммы (разности, произведения) двух функций при x, стремящемся к x₀, равен сумме (разности, произведению) пределов этих функций, т. е.


Теорема 2. Пусть b ≠ 0. Тогда

Примеры вычисления пределов функций

1. Найдем

Если мы попытаемся воспользоваться теоремой 2, то увидим, что при x, стремящемся к 1, числитель и знаменатель дроби стремятся к 0. Такая ситуация называется неопределенностью «ноль на ноль» ( ) Пока теоремой 2 воспользоваться нельзя. Заметим, что в числителе стоит разность квадратов. Используя формулу


получим

2. Найдем

Попытаемся использовать теорему 2. Найдем предел числителя:

Найдем предел знаменателя:

Имеем неопределенность типа «ноль на ноль».
В числителе дроби стоит квадратный трехчлен. Разложим его на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения


Они равны x₁ = -1, x₂ = -2.
Напомним, что для квадратного уравнения

корни x_1,2 находятся по формуле

и разложение на множители записывается так:

Возвращаясь к нашему примеру, получим

Предел функции при x, стремящемся к бесконечности (x→∞), вычисляется так же, как для последовательности.

Приращение функции

Приращение функции, обозначаемое через Δ_y, показывает, на сколько значение функции в точке x₀ + Δ_x отличается от значения функции в точке x₀(рис. 31).


Приращение аргумента — Δ_x, приращение функции — Δy = y(x₀ + Δx) - y(x₀)

Производная

Определение. Производной y′(x₀) функции y(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:


если этот предел существует. Итак,

Схема вычисления производной

1. Вычислить y(x₀). 2. Вычислить y(x₀+ Δx). 3. Найти приращение функции Δy = y(x₀ + ∆x) - y(x₀). 4. Найти отношение 5.  Найти предел отношения при ∆x →0, т. е. производную y′(x₀).
Найдем по определению производную функции y = x².

Физический смысл производной

Пусть независимая переменная t — это время. Рассматриваемая функция s(t) — путь, пройденный точкой M от начальной точки O за время t (если t измеряется, например, в минутах, то s(3) — путь, пройденный точкой M от начальной точки O за 3 мин, s(5) — путь, пройденный точкой M от начальной точки O за 5 мин).
Тогда s(t + Δt) — путь, пройденный точкой M от начальной точки O за время t + Δt. На рис. 32 путь MM′ пройден за 2 мин и равен s(3) − s(5)

На рис. 33 путь MM′ пройден за Δt мин и равен

Средняя скорость ν на заданном отрезке пути определяется как отношение пути ко времени, за которое этот путь пройден. Средняя скорость ν на отрезке MM′ на рис. 32 равна на рис. 33 — Если Δt → 0, то M′ → M и lim_Δt→0 = s'(t)— это мгновенная скорость в точке M Итак, производная пути по времени при t = t₀ — это мгновенная скорость движения точки M в моментem t₀.
Таким образом, y′(x₀) — это скорость изменения функции y(x) в точке x₀.

Таблица производных

Примеры использования формулы 1 из таблицы производных

Свойства производной