Задача о вычислении пути

Водитель выехал в 8 ч из дома (D) и должен добраться до спортивного комплекса (K). Найти расстояние DK. Первые 10 мин (1/6 ч) он ехал со скоростью v(c1) = 40 км/ч, следующие 10 мин (1/6 ч) — со скоростью v(c2) = 10 км/ч, следующие 15 мин (1/4 ч) — со скоростью v(c3) = 30 км/ч, следующие 15 мин (1/4 ч) — со скоростью v(c4) = 60 км/ч, последние 10 мин — со скоростью v(c5) = 100 км/ч. Приехал в 9 ч. Оформим всю изложенную информацию в виде таблицы.


Получили, что расстояние DK приближенно равно 47,5 км. Понятно, что если бы водитель лучше следил за изменением скорости и чаще смотрел на спидометр, то таблица получилась бы более длинная и расстояние DK было бы найдено точнее. Определение. Сумма называется интегральной суммой.
Если в интегральной сумме n устремим к ∞(n → ∞), предполагая, что при этом Δt_iстремится к нулю то расстояние DK найдем точно.


называется определенным интегралом. В нашем примере он будет обозначаться

Определение определенного интеграла

Пусть на отрезке [a, b] задана функция f(x). Разобьем отрезок [a, b] точками:

Обозначим

На отрезке [x₀, x₁] возьмем точку c1, ... ,
На отрезке [x_i-1, x_i] возьмем точку c1, ... ,
На отрезке [x_n-1, x_x] возьмем точку c1, ... ,
c₁ ∈ [x₀, x₁], ... , c₁ ∈ [x_i-1, x_i]. Составим интегральную сумму:


Определение. Определенный интеграл — это



Число a называется нижним пределом, b — верхним пределом определенного интеграла.

Криволинейная трапеция

Пусть на отрезке [a, b] задана положительная функция f(x) > 0. Проведем вертикальные прямые через точки a и b до пересечения с графиком кривой y = f(x). Полученные точки обозначим A, B.
Фигура aABb, изображенная на рис. 36, называется криволинейной трапецией.

Геометрический смысл определенного интеграла

Найдем площадь криволинейной трапеции S_aABb. Заменим криволинейную трапецию ступенчатой фигурой (рис. 37) и найдем площадь этой фигуры.




Ступенчатую фигуру будем строить так. Разобьем отрезок [a, b] точками x₀ = a < x₁ < x₂ < ... < x_n-1 < x_n = b на n частей. Длина i‑й части Проведем через точки Δx_i - x_i-1. Проведем через точки x₀, x₁, x₂, ..., x_n-1, x_n вертикальные пунктирные линии. Криволинейная трапеция S_aABb разобьется на n криволинейных трапеций, каждую из которых заменим прямоугольником. Чтобы построить первый прямоугольник, на отрезке [x,₀, x₁] выберем любую точку c₁, найдем ƒ(c₁)— высоту прямоугольника. Ширина прямоугольника равна Δx₁. Аналогично построим остальные прямоугольники.
В результате получим:
ширина 1-го прямоугольника — Δx₁, высота — ƒ(c₁), площадь ƒ(c₁)Δx₁; ширина 2-го прямоугольника — Δx₂, высота — ƒ(c₂), площадь ƒ(c₂)Δx₂.
.......................
Площадь n-го прямоугольника ƒ(c_n)Δx_n.
Площадь ступенчатой фигуры равна сумме площадей всех прямоугольников (рис. 38).




Чем уже будут прямоугольники, тем меньше площадь ступенчатой фигуры будет отличаться от площади криволинейной трапеции S_aABb. Площадь S_aABb получим, если рассмотрим предел интегральной суммы


Итак, определенный интеграл

равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a, x = b и кривой y = ƒ(x).

Формула Ньютона — Лейбница

Пусть g(x) — первообразная функции ƒ(x): g'(x) = ƒ(x).
Справедлива формула Ньютона — Лейбница:

Пример 1. Найти интеграл xdx

Интеграл легко вычисляется из геометрического смысла определенного интеграла. Он равен площади треугольника, т. е. 1/2. Найдем его по формуле Ньютона — Лейбница. Получим

Вычисление площади фигуры
с помощью определенного интеграла

Требуется по рисунку найти площадь криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла и формулы Ньютона — Лейбница. Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = x₂, осью абсцисс и прямыми x = −1 и x = 2 (рис. 40).




Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x₂ и y = + 2 (рис. 41)


Найдем точки пересечения кривых

Следовательно, пределы интегрирования a = −2, b = 2. Из площади, ограниченной верхней кривой y = x², изображенной пунктиром, нужно вычесть площадь, ограниченную нижней кривой
y = +2 , изображенной сплошной линией

Таким образом, площадь искомой фигуры равна 16/3.
а этом заканчивается наш небольшой курс по высшей математике, который позволил вам глубже познакомиться с такими важными математическими понятиями, как системы линейных алгебраических уравнений; прямая и кривые второго порядка; функции, производные, неопределенные и определенные интегралы.