Пусть X и Y — множества.
Определение. На множестве X задана функция ƒ, если определен закон, по которому каждому элементу x из множества X в соответствие ставится один, вполне определенный элемент y из множества Y.

Это записывается так: y=ƒ(x).
X называется областью определения функции, x — аргумент (независимая переменная, прообраз y), y — функция (зависимая переменная, образ x).
Рассмотрим пример функции.
Пусть X — пронумерованное множество столов: 1, 2, 3, …, 25;
Y — множество студентов, построенных по росту, последний — самый высокий. Предположим, что студентов одинакового роста в группе нет. Правило ƒ соответствия между x и y определим так: за первый стол садится самый маленький студент, за второй — повыше и т. д.
1. Пусть Y = {25 студентов}. Тогда ƒ является функцией.
2. Пусть Y = {24 студента}. ƒ функцией не является, так как двадцать пятому столу не поставлен в соответствие студент.
3. Пусть Y = {26 студентов}. ƒ является функцией.
4. Пусть Y = {26 студентов}. За двадцать пятый стол посадим двух студентов. Новый закон соответствия обозначим g. Закон g не является функцией, так как одному столу соответствует два студента.
5. Пусть Y = {24 студента}. Пусть самый маленький студент занял первый и второй стол. Закон соответствия обозначим h. h — функция (первому столу соответствует самый маленький студент и второму столу соответствует самый маленький студент).
В дальнейшем будем предполагать, что X, Y — числовые множества и Y — множество всех образов. Тогда Y называется областью значений функции ƒ.

Примеры числовых функций

1. y = x2.
Область определения функции X = (-∞, +∞).
Область значений функции Y = (0, ∞).
Графиком функции является парабола (рис. 20).


2. y = √1-x²
Найдем область определения функции. Выражение, стоящее под корнем, должно быть неотрицательным, поэтому 1-x² ≥ 0, т. е. (1 - x)(1 + x) ≥ 0. Методом интервалов решим это неравенство (рис. 21).


Получим -1 ≤ x ≤ 1. Таким образом, X = [−1; 1]. Понятно, что y принимает самое большое значение при x, равном 0, а самое маленькое значение при x, равном 1. Поэтому Y = [0; 1].
Графиком функции является верхняя полуокружность (рис. 22).
Действительно, y² = 1-x², а x²+y² = 1 — уравнение окружности.


3. y = sign (x) (сигнум x).

Область определения этой функции X — множество всех действительных чисел. Область значений функции Y = {−1, 0, 1}.
График функции изображен на рис. 23.

Определение последовательности

Определение. Если каждому натуральному числу n (1, 2,…) в соответствие поставлено одно определенное число x_n, то упорядоченное множество {x₁, x₂ ...,x_n, ...} называется последовательностью.
Здесь x₁, x₂... — члены или элементы последовательности; x_n — общий член последовательности; n — его номер; {x_n} — короткая запись последовательности.

Примеры последовательностей

Изображение последовательности на числовой прямой

Рассмотрим, как приведенные выше последовательности изобразятся на прямой.


Данная последовательность изображена на рис. 24.


Посмотрим, как в наших примерах ведут себя элементы последовательности при неограниченном увеличении n (n → ∞).
Элементы первой последовательности стремятся к 0 (x_n → 0) при n, стремящемся к бесконечности (n → ∞) (пишут: x_n → 0 при n → ∞), т. е. при больших n элементы последовательности x_n мало отличаются от 0. Элементы третьей последовательности стремятся к 1 при n, стремящемся к бесконечности (x_n → 1 при n → ∞). Элементы второй и четвертой последовательности при n, стремящемся к бесконечности, по модулю становятся неограниченно большими. Говорят, что эти последовательности являются бесконечно большими (x_n → ∞ при n → ∞).

Окрестность

Определение. Окрестностью точки a радиуса ε (эпсилон) называется интервал (а − ε, а + ε) (рис. 28).


Такая окрестность обозначается O_ε(a), т.е O_ε(a) = (a-ε, a+ε).

Предел последовательности

Определение. Предел последовательности x_n при n, стремящемся к бесконечности (n → ∞), равен а, если для любой ε окрестности точки а все члены последовательности, начиная с некоторого номера, зависящего от ε, этой окрестности принадлежат.
На рис. 29 изображены элементы некоторой последовательности, сходящейся к нулю. Для окрестностей O_ε1, O_ε2, O_ε3изображены только правые половины. Окрестности O_ε1 принадлежат все члены последовательности, начиная с x₃. Окрестности O_ε1принадлежат все члены последовательности, начиная с x₅.

Бесконечно малая последовательность

Определение. Последовательность, предел которой равен нулю, называется бесконечно малой.
Примеры. Последовательности

являются бесконечно малыми. Для бесконечно малой последовательности введем запись: x_n — б. м.

Бесконечно большая последовательность

Определение. Последовательность y_n называется бесконечно большой (y_n— б. б.), если для любой окрестности начала координат O_E(0) члены последовательности, начиная с некоторого номера (зависящего от E), не принадлежат этой окрестности.
Последовательность n₂ — бесконечно большая.

Теоремы о связи бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей

Теорема 1. Пусть последовательность y_n — бесконечно большая. Тогда последовательность x_n= является бесконечно малой.
Теорема 2. Пусть последовательность x_n — бесконечно малая и x_n ≠ 0, тогда последовательность y_n= является бесконечно большой.
Примеры. Последовательность (−1)_nn — бесконечно большая, поэтому последовательность = — бесконечно малая согласно теореме 1.
Последовательность n₂ — бесконечно большая, поэтому последовательность — бесконечно малая.
Определение. Всякая последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Теоремы о сходящихся последовательностях

Пусть последовательности x_n и y_n сходятся, т. е.

Теорема 3. Предел суммы (разности, произведения) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности, произведению) пределов исходных последовательностей:



Теорема 4. Пусть последовательность x_n сходится к a, последовательность y_n сходится к b, y_n ≠ 0 и b ≠ 0. Тогда предел отношения x_n к y_n равен отношению пределов соответствующих последовательностей, т. е.
Примеры вычисления пределов
1. Найти предел последовательности
Разделим каждое слагаемое числителя на знаменатель. Получим
т. е. исходная последовательность равна сумме последовательностей
По теореме 3

2. Найти предел последовательности

Воспользоваться теоремой 4 для последовательностей

невозможно, так как они не являются сходящимися. Поэтому поделим числитель и знаменатель дроби


на n₂. Получим

Последовательности

являются сходящимися. Следовательно, можно применить теорему 4:

(далее для вычисления пределов, стоящих в числителе и в знаменателе дроби, воспользуемся теоремой 3 о вычислении предела суммы двух последовательностей):


3. Найти предел последовательности

Заметим, что в числителе стоит многочлен первой степени, а в знаменателе — многочлен второй степени. Наибольшая степень равна 2. Поделим числитель и знаменатель дроби на n в наибольшей степени: на n₂. Получим


Далее, применив теоремы 4 и 3, получим


Правило. Если общий член последовательности есть отношение двух многочленов и степень числителя меньше степени знаменателя, то предел последовательности равен нулю.