Уравнение ƒ(x,y)=0 задает кривую на плоскости xOy, т. е. геометрическое место точек на плоскости, координаты которых (x, y) удовлетворяют уравнению.

Уравнение прямой, проходящей под заданным углом и отсекающей на оси ординат заданный отрезок
Угол α — это угол поворота оси абсцисс вокруг точки пересечения с прямой AM против часовой стрелки до совпадения с прямой AM. Пусть 0 < α < 90°.
Пусть прямая AM пересекает ось ординат в верхней полуплоскости и отсекает отрезок длины b. M(x, y) — текущая точка на прямой (рис. 8).

В треугольнике ABM угол ∠MAB равен α,
Отсюда y-b=xtgα. Обозначим k=tgα. Получим уравнение прямой:

Здесь k — тангенс угла наклона прямой, а b — вторая координата точки пересечения прямой с осью Oy.
При b = 0 прямая проходит через начало координат (рис. 9).


При b = 0, k > 0 прямая лежит в первой и третьей четверти.
При b = 0, k < 0 прямая лежит во второй и четвертой четверти (рис. 10).


При k = 0 прямая параллельна оси Ox.
При k = 0, b = 0 прямая имеет уравнение y = 0. Это ось Ox. Пример 4.1. Определить, будут ли принадлежать прямой y=2x−3 точки M₁(2, 1) и M₂(−1, 5).
Подставим координаты точки M₁ в уравнение. Получим 1=4−3, т. е. M₁ принадлежит прямой. Подставим координаты точки M₂ в уравнение. Получим 5≠−2− 3, т. е. M₂ не принадлежит прямой.
Пример 4.2. Написать уравнение прямой, проходящей под углом 45° и отсекающей на отрицательной полуоси ординат Oy отрезок длины 4.
Приведем таблицу значений тангенса.


Уравнение прямой, проходящей через заданную точку под заданным углом
Задана точка M₀(x₀,y₀) и угол α.
Тогда k = tgα. В уравнении y=kx+b коэффициент b не известен. Точка M₀(x₀,y₀) принадлежит прямой. Поэтому y₀=kx₀+b Получили два уравнения:


Вычтем из первого второе. Получим

Уравнение прямой, проходящей через две точки
Заданы точки M₁(x₁,y₁), через которые проходит искомая прямая.
В уравнении y=kx+b коэффициенты k и b не известны. Точка M₁(x₁,y₁) принадлежит прямой. Поэтому, согласно (4.2), y-y₁=k(x-x₁). Точка M₂(x₂,y₂) принадлежит этой прямой. Поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению. Итак,


Пусть y₂≠y₁ и x₂≠x₁. Тогда можно поделить верхнее уравнение на нижнее. Получим уравнение прямой, проходящей через точки M₁ и M₂.


Поменяем местами левую и правую часть в формуле (4.3). Получим более удобную формулу:


Если y₂=y₁, а x₂=x₁, то прямая M₁M₂ горизонтальна (рис. 11) и ее уравнение y=y₁.


Если x₂=x₁, а y₂≠y₁, то прямая M₁M₂ вертикальна и ее уравнение x=x₁.
Пример 4.3. Заданы точки M₁(1, 3) и M₂(2, 1). Записать уравнение прямой. Найти k, b.Подставим наши данные в формулу (4.3′):


Уравнение прямой в отрезках на осях
Пусть известно, что прямая отсекает на оси Ox отрезок a, а на оси Oy отрезок b. Записать уравнение прямой. Искомая прямая проходит через M₁(a, 0) и M₂(0, b). Из (4.3)


отсюда

и, наконец,

Пример 4.4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M₁(−1, 2) и отсекающей на осях отрезки равной длины. Через точку M₁ проходят две прямые, отсекающие на осях отрезки равной длины. Обозначим за a длину отсекаемого отрезка. В случае 1, изображенном на рис. 12, получим уравнение




Подставим в него координаты точки M₁.

Искомая прямая y=−x+1.
В случае 2, изображенном на рис. 13, уравнение имеет вид


Подставив в него координаты точки M₁, получим

Искомая прямая y=x+3.


Общее уравнение прямой

Ax+By+C=0, где A²+B²≠ 0. (4.4)

При B≠0 поделим (4.4) на B и получим уравнение (4.1), где

При B=0 получим уравнение вертикальной прямой

Угол между прямыми

Заданы прямые 1 и 2 (рис. 14). ∠γ — это угол поворота первой прямой против часовой стрелки до совпадения со второй прямой.


Очевидно, ∠γ = ∠α − ∠β.
Известна такая тригонометрическая формула:

Пусть уравнение первой прямой y=k₁x+b₁, уравнение второй прямой y=k₂x+b₂. Тогда tgα=k₂, tgβ=k₁. Используем тригонометрическую формулу (4.5). Тангенс угла между прямыми отыскивается так:

Далее рассмотрим условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Условие параллельности двух прямых
Так как прямые параллельны, угол γ равен 0. Поэтому

Условие перпендикулярности двух прямых Угол γ равен 90°.


Поэтому

Пример 4.5. Найти уравнение прямой, параллельной прямой y=−2x+1 и проходящей через точку M₁(−1, 5).


Подставим координаты M₁ в уравнение.

Искомое уравнение
Пример 4.6. Найти уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=−2x+1 и проходящей через точку M₁(−4, 5).


Расстояние от точки до прямой
Дана точка M₀(x₀,y₀) и прямая Ax+By+C=0 (рис. 15).


Расстояние r от точки M₀ до прямой AX+By+C=0 определяется по формуле

Пример 4.7. Найти расстояние от точки M₀(−2, 5) до прямой y=3x+1.
Чтобы записать уравнение прямой в общем виде (4.4), перенесем все слагаемые в правую сторону.


Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки M₀(x₀,y₀), называемой центром окружности, на расстояние r (рис. 16).


M(x,y)-произвольная точка окружности. Расстояние от M до M₀равно:

Отсюда, возведя обе части равенства в квадрат, получим уравнение окружности:

Эллипс — это геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух заданных, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a (рис. 17).
F₁,F₂— фокусы, OF₁— фокусное расстояние, OF₁=c, MF₁+MF₂=2a,F₁,F₂— расстояние между фокусами, F₁F₂=2c. A,B,A',B'— вершины эллипса, OA — большая полуось эллипса, OB — малая полуось эллипса, OA=a, OB=b, где



Выпишем каноническое уравнение эллипса:

Пример 4.8. Записать уравнение эллипса, если расстояние между фокусами 6, а малая полуось 4.

Уравнение эллипса:

Гипербола — это геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний которых до двух заданных, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a (рис. 18).

Точки F₁,F₂— фокусы, OF₁ — фокусное расстояние, OF₁=c, |MF₁-MF₂|=2a. Точки A,A' называют вершинами гиперболы, OA=a,AA'— действительная ось гиперболы.
выпишем каноническое уравнение гиперболы:

Асимптоты гиперболы, т. е. прямые, к которым графики гиперболы приближаются при x→∞, имеют уравнения


Пример 4.9. дано уравнение

найти фокусное расстояние и асимптоты гиперболы.

Фокусное расстояние равно 10. Асимптоты гиперболы имеют уравнения

Парабола — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой фокусом, и заданной прямой, называемой директрисой (рис. 19).
Здесь KP — директриса, F — фокус, M — произвольная точка параболы, для которой выполняется равенство MK=MF.


С уравнением параболы вы познакомились в школьном курсе математики.