Определение. Определитель — это число, которое ставится в соответствие квадратной матрице A по определенному правилу. Итак, задана матрица

Обозначение определителя:


Определитель второго порядка вычисляется по правилу:

Вначале перемножаются элементы, стоящие на главной диагонали — a₁₁ и a₂₂, затем на побочной диагонали — a₂₁ и a₁₂. И, наконец, из первого слагаемого вычитается второе
Пример 2.1


Пример 2.2.
Найти значения параметра a, при которых заданный определитель равен -2.


Вычислим определитель:

По условию

Следовательно,

При a=2 и a=3 определитель равен -2.


Выпишем определитель третьего порядка:

Вычислим его по правилу треугольника.Правило треугольника вначале запишем схематично:


Здесь xxx — произведение элементов, стоящих на главной диагонали, ●●● — произведение трех элементов, два из которых находятся над главной диагональю, а третий в нижнем левом углу, ⊕⊕⊕ — произведение трех элементов, два из которых находятся под главной диагональю, а третий в верхнем правом углу. Остальные произведения входят в формулу со знаком минус и связаны с побочной диагональю.


Теперь запишем правило треугольника:

Пример 2.3



Определение. Минором M_ij называется определитель, полученный из определителя матрицы A вычеркиванием i-й строки и j‑го столбца. Пример 2.4. Рассмотрим


Чтобы найти M₁₁, вычеркнем первую строку и первый столбец.


Чтобы найти M₂₃, вычеркнем вторую строку и третий столбец.


Пример 2.5. Для определителя


Определение. Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij называется минор M_ij, взятый со знаком плюс, если сумма i + j — число четное, и со знаком минус, если i + j — число нечетное, т. е.


Пример 2.6. Рассмотрим

Алгебраическое дополнение A11 элемента a₁₁ равно M₁₁ и равно −8.

Пример 2.7. Рассмотрим

Определение. Определитель Δ равен сумме произведений элементов i-й строки на их алгебраические дополнения:
или определитель Δ равен сумме произведений элементов j‑го столбца на их алгебраические дополнения:

Запишем вычисление определителя третьего порядка разложением по первой строке.


Запишем вычисление определителя третьего порядка разложением по второму столбцу


Пример 2.8

Вычислим этот определитель разложением по первому столбцу.

Задача. Выборы декана.
Пусть на факультете три кафедры. На первой работает 20 человек, на второй — 35, на третьей — 18. Голосуют все. Известно, что за предложенного кандидата на второй кафедре проголосовало в 2 раза больше, чем на первой, воздержалось — в 2 раза меньше, «против» проголосовало в 3 раза больше. На третьей кафедре «за» проголосовало столько же человек, сколько на первой, воздержавшихся нет, «против» проголосовало в 2 раза больше, чем на первой. Кандидат выбран деканом, если получил больше 50 % голосов. Будет ли кандидат выбран деканом?


Пусть на первой кафедре «за», воздержалось, «против» соответственно x, y, z человек. Тогда получится три соотношения, которые образуют систему линейных уравнений:


Система линейных алгебраических уравнений второго порядка имеет вид:


где x₁ , x₂ — искомые неизвестные, которые называются решением системы; a₁₁,..., a₂₂ — коэффициенты системы; b₁ , b₂ — правые части системы или свободные члены.

В матричной форме система линейных алгебраических уравнений записывается так:

Пример 2.9

Матричная форма записи системы:

Домножим первое уравнение системы на a₂₂, второе уравнение — на a₁₂:

Получим

Вычтем из первого второе:

Обозначим

Тогда (2.2) запишется в виде Δ*x₁=Δ₁. Аналогично получим, что Δ*x₂=Δ₂,где

Правило
1. Пусть , тогда система (2.1) имеет единственное решение:

Эти формулы называются формулами Крамера.
2. Пусть Δ = 0 и Δ₁= 0, тогда система (2.1) имеет бесконечно много решений.
3. Пусть Δ = 0, а Δ₁ ≠ 0, тогда система (2.1) не имеет решений.
Пример 2.10


Решение системы:

Пример 2.11

Система имеет бесконечно много решений.
Пример 2.12

Система не имеет решений. Система линейных алгебраических уравнений третьего порядка имеет вид:


Пусть

Пусть Δ ≠ 0, тогда система (2.3) имеет единственное решение:


Полученные формулы называются формулами Крамера.
Пример 2.13
Решим задачу о выборе декана:



Нетрудно найти, что z = 4.
Ответ: «за» проголосовало 40 человек из 73, т. е. кандидат будет избран деканом.