Определение. Матрица — это таблица, состоящая из n строк и k столбцов.
Матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита. Элементы матрицы обозначаются соответствующими малыми буквами с индексами. Первый индекс указывает номер строки, второй номер столбца. Например, a₂₃ — элемент матрицы A, стоящий во второй строке и третьем столбце. Все элементы матрицы заключаются в круглые скобки; n и k называются размерами матрицы.

Владелец двух торговых точек, продающих крупы, решил выяснить, каков в них объем продаж риса, пшена и гречи. Информацию об этом можно оформить в виде таблицы:

Таким образом, получилась матрица Через обозначают элемент матрицы A, стоящий в i‑й строке и j-м столбце.

Определение. Квадратная матрица — это матрица, у которой число строк равно числу столбцов.
Пример 1.2

Обычно при указании размерности квадратной матрицы пишут только один индекс, т. е.
Определение.Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые индексы a₁₁,a₂₂,a₃₃,...,a_nn, называются диагональными элементами. Они образуют главную диагональ матрицы.
Определение. Диагональной матрицей называется такая квадратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю.
Пример 1.3
Определение. Единичной матрицей называется такая диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице.8
Пример 1.4 Определение. Следом матрицы называется сумма всех диагональных элементов:
Пример 1.5. След матриц B и D равен S = 50 + 60 = 110, след матриц C и F равен S = 50 + 60 − 7 = 103.
Определение. Матрица A^T называется транспонированной к A, если каждая строка матрицы A^T получается из соответствующего столбца матрицы A.


Очевидно, что число строк матрицы A^T равно числу столбцов матрицы A, число столбцов матрицы A^T равно числу строк матрицы A.
Пример 1.6. Найти матрицу A^T, если
Определение. Матрица, состоящая из одного столбца, называется вектор-столбец:

Определение. Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строка:

Рассмотрим следующие задачи.
Задача 1. Пусть

объем продаж за первые две недели января,

объем продаж за последние две недели января.
Требуется найти C_2×3 — объем продаж за январь. Очевидно, для решения задачи нужно сложить элементы матриц A и B, стоящие на одинаковых местах. Получим


Эта операция называется сложением матриц. 1. Сложение матриц.
Пусть Матрица С_n×k называется суммой этих матриц, т. е. С = A + B, если

Заметим, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности. Аналогично определяется разность матриц A и B.

Задача 2. Пусть


цены на крупы в двух торговых точках в январе. В феврале все цены увеличились вдвое. Найти матрицу цен в феврале. Ясно, что каждый элемент матрицы A нужно умножить на 2. Получим


Операция называется умножением матрицы на число. 2. Умножение матрицы на число. Пусть


Матрица F_>n×k называется произведением матрицы A на число q, т. е. F = qA, если


Пример 1.7 Найти С=-2A-3B_T+4E, если

а Е — единичная матрица.
Решение

Задача 3. Пусть
цены на крупы рис, пшено и гречу в двух магазинах. Две старушки решают, могут ли они пойти в магазин вместе, если первой нужно купить: риса — 1 кг, пшена — 0,5 кг, гречи — 0,5 кг, а второй: риса — 0,5 кг, пшена — 2 кг, гречи — 1 кг. При этом каждая выбирает тот магазин, где нужно потратить меньшую сумму.
Решение. Запишем информацию о покупках в таблицу:


По этой таблице составим матрицу:

Очевидно, если мы умножим первую строчку матрицы A на первый столбец матрицы B, то узнаем, сколько денег первой старушке придется заплатить за покупку в первом магазине:


Первой старушке придется заплатить за покупку во втором магазине:

Второй старушке придется заплатить за покупку в первом магазине:

Второй старушке придется заплатить за покупку во втором магазине:

Получилась новая таблица:

и новая матрица: Она является произведением матриц A и B, т. е. Мы видим, что старушки не смогут пойти вместе, так как первой старушке выгоднее сделать покупки во втором магазине, а второй старушке — в первом.
3. Умножение матриц. Матрица C_n×m называется произведением матрицы A_n×k на матрицу B_k×m, т. е. C = AB, если элемент c_ij матрицы C_n×m равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A_n×k на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B_k×m, т. е.

Заметим, что не любые матрицы A и B можно перемножать. Число столбцов матрицы A должно равняться числу строк матрицы B. Из того, что произведение AB существует, не следует, что существует BA. Даже если BA существует, AB может быть не равно BA. Пример 1.8
Найти C = AB, если


Вопросы. Можно ли перемножить A на B, B на A, A на C, C на A, B на C, C на B, если


Какова размерность произведений?